2014-02-11 00:31 | カテゴリ:相場の科学
こんばんは、マイクです。

前回の記事で出した問題は考えてもらえましたか?

青いFibの161.8%が起点となるように拡大して引いた赤いFibの61.8%ラインが元の青いFibの100%ラインと一致する理由はお話ししましたね。

では、青の61.8%は赤の何%になるでしょうか?

というのが問題でした。

答は:

20140208fibo2.png


38.2%です。

ぱっと見で答はわかると思いますが(笑)、理由が腑に落ちていることが重要です。

全ては黄金比を記述する式
\[
\phi=1+\frac{1}{\phi}
\tag{1}
\]
が説明しています。

では、もう一つFibを拡大してみましょうか。
式(1)の両辺に\(\phi\)を掛けてみます:
\[
\phi^2=\phi+1
\tag{2}
\]
何と、2乗したら1プラス。またしても小数点以下が同じです。

もうわかりますよね?

\(\phi^2\)は次のFibライン、261.8%です。
ただ100%足しただけじゃなかったんですね。2乗だったんです。

では、先ほどのFibを更に拡大して青いFibの261.8%ラインを起点として引いてみましょう。

こんな感じになります(緑のFibです):

20140210fibo3.png


今度は元の青の61.8%は緑の23.6%ラインになりました。

うひゃ~、自己相似の嵐ですね。
フラクタルなチャートと相性がいいわけです。

これでわかるように、Fibの全てのラインは61.8%ラインから導くことができます。
そして61.8%は黄金比\(\phi\)=1.618の逆数でした。

ここで、今まで出てきたFibラインの数字を並べてみます:

0.236, 0.382, 0.618, 1.0, 1.618, 2.618

ですね。

この数列は全ての項が前の項に黄金比を掛けることによって生成されています。
なので、前にも後にもずっと続けることができます。

そして・・・

もう一つ重要な性質があることに気が付きましたか?

実は、全ての項はその直前の2つの項の和になっています!

\[
x_{n+2}=x_{n+1}+x_n
\tag{3}
\]

ここでピンと来た方は鋭いですね。
式(3)はあの有名な「フィボナッチ数列」を規定する式でもあります。

中世の数学者レオナルド・フィボナッチは、1ペアのウサギが産まれて2か月後から毎月1ペアずつのウサギを産むとした場合の\(n\)ヶ月目のウサギの総ペア数を考えました。
ちなみにウサギは不死身で、毎月産み続けます。(爆)

その答えがフィボナッチ数列になるんですね:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ・・・

この数列も全ての項はその直前の2つの項の和になっていることがわかります。

ということは・・・?

ふふふ。隣の項との比を取ってみましょうか。

1.00000, 2.00000, 1.50000, 1.66667, 1.60000, 1.62500, 1.61538, 1.61905, 1.61765, 1.61818, 1.61798, 1.61806, 1.61803, 1.61804, 1.61803, 1.61803, 1.61803, 1.61803, 1.61803, 1.61803, ・・・

おー、やはり黄金比に近づいていきます!
黄金比に収束することを厳密に証明するにはフィボナッチ数列の一般項を導出する必要がありますが、殆どの方は興味ないと思いますので省略します。(笑)

要は、フィボナッチ数列は黄金比と切っても切れない関係にあるってことです!

それで、実質的には「黄金比リトレースメント」であるものが「フィボナッチ・リトレースメント」と呼ばれているわけですね。


何だかチャートのフラクタル性の話に進む前に随分長くなってしまいました。

というわけで、続きはまた次回。
マンデルブロからチャートのフラクタル次元まで話は尽きません!

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