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2014-10-02 19:07 | カテゴリ:相場の科学
こんにちは、マイクです。


先日の記事
で募集したプロスペクト理論に関するアンケート第2弾、おかげさまで55名もの方に回答を頂きました!

ご協力ありがとうございました♪


では、早速、結果を見てみましょう!


まず、質問の内容はこちら:

【質問3】
■あなたの目の前に以下の2つの選択肢が提示されました。どちらを選びますか?

A: 無条件で100万円が手に入る。

B: サイコロを投げ、目の数に応じて以下の金額をもらう(+)又は支払う(-)

1: -100万円
2: ±0円
3: +100万円
4: +200万円
5: +300万円
6: +400万円


そして、みなさんの回答の集計結果は以下のグラフのようになりました:


20141002vote3.png

おー!

今回はA、Bがほぼ拮抗していますね!


実は・・・


期待損益を考えれば有利なのは断然Bなんです!!

Bにおける損益の期待値(万円)は、

\begin{equation}
\mu=\sum_{j=1}^6 p_j x_j=\frac{-100+0+100+200+300+400}{6}=150
\end{equation}
となり、Aの1.5倍もあります!


もし、これだけを考えれば、Bを選ぶ方が圧倒的に合理的だとも言えます。


しかし、Bの場合、もし1の目が出たら100万円支払わなければならないというリスクがあります。

価値関数によって、このリスクに対する恐怖感が増幅されるわけです。


先日の記事でも計算した、「総合価値」\(V\)を、A・Bそれぞれについて計算してみましょう。

おさらいですが、総合価値は次式で算出されます:
\begin{equation}
V=\sum_{j=1}^n v(x_j) p_j
\tag{1}
\end{equation}
ここで、\(n\)は起こりうるイベントの数、\(x_j\)は\(j\)番目のイベントにおける損益(万円)、\(p_j\)は\(j\)番目のイベントが起こる確率、\(v\)は価値関数で、
\begin{equation}
v=\left\{
\begin{array}{l}
x^{\alpha} \qquad \mathrm{if} \quad x\ge 0\\
-\lambda (-x)^{\alpha} \qquad \mathrm{if} \quad x< 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
で表されます。
先日の例では\(\alpha=1/3\)、\(\lambda=3\)のグラフをお見せしましたね。

これです:


■価値関数
20140924value_func4.png


そして、価値関数の特徴:

■価値は金額に比例せず、
(1) 儲けた時は上に凸、損した時は下に凸
(2) 原点を中心に点対称でなく、損した時の方が急勾配

のうち、(1)を\(\alpha\)が、(2)を\(\lambda\)が、それぞれ決定しています。


特に今回のアンケートでは、損するケースが存在するため、特徴(2)が強い影響力を持っています。


では、\(\alpha=1/3\)、\(\lambda=3\)として、総合価値を計算してみましょう。

結果は:

Aの場合、\(V=4.64\)
Bの場合、\(V=1.77\)

となります。


Aの方がかなり大きいですね。

これに従うと、アンケート結果でも、Aを選ぶ人の方がかなり多くなってもよさそうな気がします。

実際はそうならなかったわけですから、価値関数の非線形性が強すぎたのかも知れません。


そこで、価値関数を少し直線に近づけてみましょう。

試しに\(\alpha=2/3\)、\(\lambda=3/2\)としてみます。


グラフで先ほどの価値関数と比較すると次のようになります:


■価値関数の比較
20141002value_func5.png


だいぶ直線に近くなりましたね。


この価値関数を用いて、総合価値を計算してみると:

Aの場合、\(V=21.5\)
Bの場合、\(V=20.4\)

となりました。


ほぼ同じ大きさになりましたね。

これだとアンケート結果とも整合します。


なんと!


アンケート結果を基に、価値関数のパラメタ推定までできてしまいました♪


いずれにしても、価値関数という概念を用いることで、期待損益だけから考えると不合理に思える人間の意思決定のプロセスが、上手く説明できることがわかって頂けたと思います。


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